Решение контрольной работы по метематике Вычислить определенные интегралы Двойной интеграл ОДУ первого порядка Изменить порядок интегрирования в интеграле Вычислить криволинейный интеграл

Решение задач типового расчета по математике

Разложение матрицы в произведение простейших

1.14 Матричные уравнения

1.13 Разложение матрицы в произведение простейших

  Пусть  – некоторые матрицы. Введём следующее обозначение, предполагая при этом, что произведение в правой части существует,

.

Предложение 1.5. Любую ненулевую матрицу из  можно представить в виде произведения

,  (1.22)

где , – элементарные матрицы порядка , – элементарные матрицы порядка , и матрица  имеет вид (1.21).

  ◄ В силу предложения 1.4 существует конечное число строчных и столбцовых элементарных преобразований, приводящих матрицу   к виду . Так как проведение одного строчного элементарного преобразования в матрице  равносильно умножению этой матрицы слева на некоторую элементарную  матрицу порядка , а проведение в  одного столбцового элементарного преобразования равносильно умножению матрицы  справа на некоторую элементарную матрицу  порядка , получаем матричное равенство

.  (1.23)

Матрицы  обратимы, а обратные им матрицы являются элементарными матрицами того же порядка. Поэтому, вводя обозначения

,

,

и умножая обе части равенства (1.23) в соответствующем порядке на матрицы   слева и на матрицы  справа, получаем

,

т.е. равенство (1.22). ►

Пример 8. разложить матрицу

в произведение простейших.

 ◄ Элементарными преобразованиями приводим матрицу  к виду ,

.

Проводим эквивалентную цепочку элементарных преобразований, умножая матрицу   слева на элементарную матрицу порядка 2, отвечающую элементарному преобразованию , и умножая её справа на элементарные матрицы порядка 3, отвечающие элементарным преобразованиям , , , . В результате получаем, что

.

Определяя обратные элементарные матрицы (см. свойство 4 элементарных преобразований) и умножая на них в соответствующем порядке последнее равенство, получаем, что

. ►

 Следствием предложения 1.5 является критерий обратимости квадратной матрицы.

Предложение 1.3 Для любой матрицы  существует л‑эквивалентная ей матрица приведённого вида. Во-первых, любую ненулевую строку матрицы , с помощью строчных элементарных преобразований можно сделать приведённой, т.е. если , тогда найдется конечное число строчных элементарных преобразований, применив которые к матрице , мы получим матрицу , строка которой  имеет приведённый вид.

Пример 7. Построить матрицу  приведённого вида, л‑эквивалентную матрице Среди всех матриц размера  выделим множество диагональных матриц

Отношение эквивалентности  Бинарное отношение  на множестве называется отношением эквивалентности на множестве , если оно удовлетворяет условиям:

 


Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах