Решение контрольной работы по метематике Вычислить определенные интегралы Двойной интеграл ОДУ первого порядка Изменить порядок интегрирования в интеграле Вычислить криволинейный интеграл

Решение задач типового расчета по математике

Сложение матриц

Операция сложения определена лишь для матриц одинакового размера. Именно, пусть ,

Суммой матриц  и  называется матрица

 (1.2)

О сложении матриц говорят также, что оно осуществляется поэлементно. Как уже отмечалось выше, в процессе изучения алгебры матриц мы будем пользоваться упрощенными обозначениями  и т.д., не указывая всякий раз множества возможных значений индексов  и , поскольку эти значения будут ясны из контекста. Например, следующее определение суммы матриц эквивалентно вышеприведенному определению.

Пусть  и  – действительные матрицы одного порядка, тогда

  (1.3)

Знак читается “равно по определению”, а отсутствие дополнительных указаний на возможные значения индексов  и  объясняется тем, что все матрицы, входящие в равенство (1.3), имеют одинаковый размер  при некоторых натуральных значениях  и  и, следовательно, .

Операция сложения матриц обладает рядом свойств, роднящих её с операцией сложения действительных чисел.

1) Операция сложения матриц коммутативна, т.е. для любых  и  из

  ◄ Пусть . Тогда

.

Здесь на первом и пятом шагах мы воспользовались обозначением суммы матриц, на втором и четвертом – определением суммы, а на третьем шаге – принципом равенства матриц. ►

2) Операция сложения матриц ассоциативна, т.е. для любых  и  из

3) Среди всех матриц множества  существует единственная матрица , обладающая свойством

  (1.4)

для любой матрицы  из .

 ◄ Рассмотрим матрицу порядка , все элементы которой равны 0. Ясно, что .

для любой матрицы  из . Тем самым показано существование матрицы , обладающей нужным свойством. Для доказательства её единственности покажем, что любая матрица  из , удовлетворяющая равенству (1.4) для любых  из , совпадает с матрицей . Действительно, если матрица   такая, как сказано выше, то одновременно выполняются равенства

  и .

Используя свойство коммутативности сложения матриц, получаем, что . ►

Умножение матрицы на число

Скалярное умножение арифметических векторов

Умножение матриц Пусть . Для того чтобы, существовало произведение   необходимо выполнение условия согласования , т.е. число столбцов матрицы  должно совпадать с числом строк матрицы  (или порядок строк матрицы  должен совпадать с порядком столбцов матрицы ).



Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах