Решение контрольной работы по метематике Матричные уравнения Сложение матриц Эквивалентные матрицы Предел последовательности Вычислить пределы Неопределенный интеграл Определенный интеграл

Решение задач типового расчета по математике

ЗАДАНИЕ 23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: f(x)=  ln2x, x0 =1.

РЕШЕНИЕ. Применяем формулу Тейлора см. задание 22.

f(1) = 1; f ¢( x) = 2(x1)  2 lnx ×, f ¢(1) = 0;

f ¢¢( x) = 2+ 4(x  1)2+(lnx1), f ¢¢(1) = 0;

f ¢¢¢( x) = 12(x  1)+ 8(x  1)3(lnx1) + , f ¢¢¢(1) = 6.

f(x)= 1 + ( x  1)3 +о((x1)3).

Укажем ещё один путь к получению той же формулы: путь, использующий стандартные формулы Маклорена для основных элементарных функций. Выполним замену переменной: x  1= t. Тогда функция f(x) =  ln2x преобразуется в функцию g(t) =  ln2(1+t), а значению x = 1 будет соответствовать значение t = 0. Нам понадобятся формулы

= 1+ t + + o(t2) ; ln(1+t) = t  + o(t2).

В первую из этих формул сделаем подстановку t2 вместо t, а вторую формулу возведём в квадрат:

= 1+ t2+ + o(t4), ln2(1+t) = (t  + o(t2))( t  + o(t2)) = t2  t3 + o(t3).

Отсюда g(t) =  ln2(1+t) = 1+ t3 + o(t3) и f(x)= 1 + ( x  1)3 +о((x1)3).

Использовались свойства о-малых: любая o(t4) является также o(t3), а для любой o(t2) произведение t×o(t2) является o(t3) и т. д.

Ответ. Функция ведёт себя в окрестности точки как кубическая, возрастает; её поведение схематически изображено на рис.35.

 Рис. 35

ЗАДАНИЕ 24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора:

.

РЕШЕНИЕ. Имеет место неопределённость (0/0). Выполним замену переменной x + 2 = t с целью использовать стандартные формулы Маклорена. Предел при этом преобразуется к виду: .

Нам понадобятся формулы

= 1+ t + + + o(t3) ; ln(1+t) = t  + + o(t3).

Первая из этих формул нужна также с выполненной в ней подстановкой t вместо t, вторая – с подстановкой 2t вместо t:

= 1 t + + o(t3); ln(1+2t) = 2t + + + o(t3).

Формулы выписываем с остаточным членом o(t3); этого достаточно, так как в условии в знаменателе дроби стоит t3.

 =  =  = –2 =¥

áчислитель заменили его главной частьюñ.

Ответ. = ¥.

Найти асимптоты и построить эскизы графиков функций:

Алгебра матриц В этой главе, прежде всего, строится матричное исчисление. На множестве матриц, определяемых как таблицы вещественных чисел, вводятся операции (сложения, умножения, умножения на число, транспонирования и обращения) и изучаются свойства этих операций. Выясняется, что наряду со свойствами операций, наследуемыми матрицами у вещественных чисел, у них появляются и новые свойства, которыми вещественные числа не обладают. Например, умножение матриц оказывается некоммутативным. После этого обсуждается проблема разложения матрицы на простейшие. Оказывается, что любую матрицу единственным образом можно представить в виде суммы матриц, каждая из которых обладает только одним ненулевым элементом. Представление матрицы в виде произведения простейших является более сложным и нуждается в построении специального аппарата элементарных матриц, оправдывающего себя в последующих разделах курса.

Принцип равенства Две действительные матрицы  и  называются равными (записывается ), если они имеют одинаковые размеры, т.е. числа строк и столбцов у этих матриц совпадают, и на одинаковых местах в этих матрицах стоят одинаковые элементы.



[an error occurred while processing this directive]