Решение контрольной работы по метематике Матричные уравнения Сложение матриц Эквивалентные матрицы Предел последовательности Вычислить пределы Неопределенный интеграл Определенный интеграл

Решение задач типового расчета по математике

ЗАДАНИЕ 18. С помощью дифференциала функции вычислить приближённо  при x = 7,76.

РЕШЕНИЕ.

Найдём дифференциал функции y(x) = в точке x: dy= y¢(x)dx = dx. Найдём рядом с точкой x=7,76 точку x0 , в которой значение вычислялось бы точно. Для этой роли подойдёт точка x0=8. По определению дифференциала

y(x0+x) = y(x0) + dy(x0)+o(x)

или в других обозначениях

y(x) = y(x0) + dy(x0)+o((xx0)), x = dx = x  x0 .

Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений

y(x)y(x0) + y¢(x0)( x  x0).

В нашей задаче +(7,76  8) 2+=1,98.

Ответ. 1,98.

ЗАДАНИЯ 19-20. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

19) ; 20) (ln2cos x·ln sin x3).

РЕШЕНИЯ.

19) . Имеет место неопределённость (). Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределённостей (0/0) или (¥¥). Поэтому сначала логарифмированием сведём заданную неопределённость к одной из указанных двух:

==

использована непрерывность функции экспонента: переставлены знаки функции и предела. Запишем выражение в скобках в виде дроби; получится неопределённость (0/0).

Напоминаем формулировку правила Лопиталя: если существует предел конечный или бесконечный, то

а) существует и предел ;

б) эти два предела одинаковы естественно, функции f(x) и g(x) должны быть дифференцируемы в окрестности точки x0 всюду, кроме, возможно, самой точки x0 , точка x0 в понятии предела не рассматривается; производная функции g(x) не должна равняться нулю.

Применение правила Лопиталя производится в форме

=.

Цепочка при необходимости может быть продолжена = и так далее. И ещё одно замечание: правило Лопиталя верно и для односторонних пределов, и для пределов на бесконечности. Решаем свою задачу

==.

Мы нашли предел в показателе экспоненты.

Ответ. = e2.

20) (ln2cos x·ln sin x3). Имеет место неопределенность (). Для того, чтобы преобразовать её в (0/0) или , перенесём один из множителей в знаменатель, записав его в степени 1. В нашем случае лучше перенести первый множитель:

(ln2cos x·ln sin x3) = = (0/0) = =.

На примере этой задачи хорошо видно, что, ориентируясь, в основном, на применение правила Лопиталя, не нужно забывать о других приёмах, облегчающих вычисление пределов; иначе нагромождение формул очень затруднит или сделает невозможным выяснение характера неопределённости. В нашем случае во всех множителях, не дающих в пределе 0 или ¥  у нас это множители cos x3 и 1/cos x , нужно перейти к пределу, а также  заменить множители sin x и

sin x3 на эквивалентные им более простые множители x и x3. Получим

==.

Делая попытку применить теорему о пределе частного, увидим, что неопределённость сохранилась, это снова (0/0). Применяем правило Лопиталя ещё раз:

== ln2cos x=0.

Ответ. (ln2cos x×ln sin x3) = 0.

Другой подход к решению задачи  использование логарифмической производной. Приведём и такое решение: ln y = ln2cosx· ln(sin x3); дифференцируем обе части равенства по переменной x:

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить в этой точке y¢¢xx:

ЗАДАНИЕ 21. Многочлен f(x)=3x4  22x3 + 60x2  73x + 39 по степеням x представить в виде многочлена по степеням (x  2). Известно, что для дифференцируемой 4 раза в точке x0 функции f(x) существует лишь один многочлен, приближающий её в окрестности этой точки с точностью до слагаемого  о((x  x0)4)  это многочлен Тейлора обозначим его : f(x) = + о((x  x0)4). В случае, когда сама f(x) является многочленом 4-й степени, получим f(x) = , то есть о((x  x0)4) = 0. Поэтому коэффициенты искомого многочлена можно найти с помощью формулы Тейлора



[an error occurred while processing this directive]