Решение контрольной работы по метематике Матричные уравнения Сложение матриц Эквивалентные матрицы Предел последовательности Вычислить пределы Неопределенный интеграл Определенный интеграл

Решение задач типового расчета по математике

 

ЗАДАНИЕ 5. Изменить порядок интегрирования в интеграле

.

РЕШЕНИЕ.

  Восстановим область интегрирования () по пределам повторных интегралов: =1È2, Закон распределения дискретной случайной величины Определение.

(1):  ;

(2): 

Изобразим область интегрирования на чертеже. Найдем точки пересечения параболы   и прямой :  т.е. точкам пересечения кривых соответствуют точки, для которых  и . Вертикальной штриховкой покажем порядок интегрирования: сначала по y при фиксированном x. Сменим штриховку на горизонтальную. Из рисунка видно, что данная область является -трапецией.

Рис.73

Уравнение “нижней” кривой есть , “верхней” - прямая . Поэтому ():  и в результате подстановки пределов получим следующий повторный интеграл:

Ответ. 

ЗАДАНИЕ 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

 .

РЕШЕНИЕ.

 Тело  ограничено с “боков” плоскостью  и цилиндром (цилиндрической поверхностью)  . “Снизу” тело “накрыто” плоскостью , сверху – плоскостью . Изобразим на чертеже заданное тело (рис.74).

Рис.74

Очевидно, тело  есть - цилиндрический брус. Область (), являющуюся ортогональной проекцией тела  на плоскость , изобразим на отдельном рисунке. Для этого найдем точки пересечения параболы  с прямой . Опуская подробности вычислений, получим, что прямая и “положительная” ветвь параболы пересекаются в точке, в которой . Объем цилиндрического бруса может быть найден с помощью двойного интеграла. Учитывая, что тело “стоит” на плоскости  , для объема запишем формулу  и перейдем к повторному интегралу. Область (), изображенная на рисунке, очевидно не является - трапецией, но является - трапецией:

(): .

 Записав объем через повторный интеграл и производя вычисления, последовательно получим

V=.

Ответ. Объем тела равен 80.


Сформулируем правило, позволяющее вычислить рассматриваемый несобственный интеграл с помощью теории функций комплексного переменного:

Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Приведем решение двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией поверхности.

Нетрудно убедиться, что и здесь, как и в предыдущем случае, повторный интеграл, записанный в декартовой системе координат, при вычислении требует значительных усилий; поэтому и в этом случае перейдем к цилиндрической системе координат

Чтобы тройной интеграл записать в виде повторного, перейдем в уравнениях ограничивающих тело поверхностей к сферическим координатам.


Тройной интеграл в декартовых координатах