Решение контрольной работы по метематике Матричные уравнения Сложение матриц Эквивалентные матрицы Предел последовательности Вычислить пределы Неопределенный интеграл Определенный интеграл

Решение задач типового расчета по математике

 

Задание 11. Вычислить интегралы от функции комплексного переменного:

а) , где   - отрезок прямой, , .

б) , где  - ломаная, , , . Точечная оценка для параметров распределения.

в) , где   - дуга окружности , .

г) , где  - отрезок прямой , соединяющий точки  и ,  и .

Решение.

а) Так как подынтегральная функция  аналитична всюду, то можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница: =.

б) Подынтегральная функция  определена и непрерывна всюду, ломаная  представляет собой кусочно-гладкую кривую, поэтому искомый интеграл сводится к вычислению двух криволинейных интегралов по координатам по формуле:

.

Следовательно,

.

Воспользуемся свойством аддитивности криволинейного интеграла:

.

На отрезке  , значит , . Поэтому .

На отрезке  , , . Поэтому

.

Искомый интеграл  равен .

в) Положим , тогда , . Следовательно,

=.

г) Зададим линию  параметрическими уравнениями: , , , .

Для кривой, заданной параметрическими уравнениями , , справедлива формула .

Поэтому =.


Полученное разложение содержит и правильную, и главную часть ряда Лорана.

Главная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, значит   - полюс. Порядок высшей отрицательной степени  определяет порядок полюса. Следовательно,  - полюс кратности 2. Вычет найдем, используя формулу , тогда .

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах: Решение. Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки  и . Тогда .


Тройной интеграл в декартовых координатах