Решение контрольной работы по метематике Матричные уравнения Сложение матриц Эквивалентные матрицы Предел последовательности Вычислить пределы Неопределенный интеграл Определенный интеграл

Решение задач типового расчета по математике

 

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами

  а).

 б).

а). Искомым множеством является пересечение кольца   и внутренней части угла :

б).  Кривую  запишем в декартовых координатах:

Итак, .

Или ,

  - Лемниската Бернулли.

Неравенство  определяет точки, лежащие на лемнискате и внутри ее. Неравенство  определяет точки, лежащие правее прямой Искомым множеством является пересечение этих областей:

Задание 6. Проверить, может ли функция  быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии .

Решение.

Найдем частные производные:

Следовательно,

, .

Таким образом, функция  гармоническая в плоскости , и, значит существует такая аналитическая в  функция , что .

В силу условий Коши-Римана имеем:

 (1)

  (2)

Интегрируем уравнение (1) по переменной у, находим мнимую часть с точностью до слагаемого :

.  (3)

Продифференцируем (3) по х:

Сопоставляя результат с (2), получаем , откуда .

Таким образом, имеем

  и

Учитывая условие , получаем .

Итак,



Тройной интеграл в декартовых координатах