Решение контрольной работы по метематике Матричные уравнения Сложение матриц Эквивалентные матрицы Предел последовательности Вычислить пределы Неопределенный интеграл Определенный интеграл

Решение задач типового расчета по математике

 

ОДУ первого порядка.

Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте лекции, §§24, 25.1,3,4 и предложенные примеры. Ответьте на вопросы и решите задачи Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Примеры: Даны ОДУ 1-го порядка. Определить их тип (если возможно):

  а) ; б) ; в)

 г);

 д)

а) Запишем уравнение в дифференциальной форме. Для этого умножим обе его части на dx, учитывая что , получаем: . Левую часть полученного уравнения раскладывается на множители:

. Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными, т.к. если разделить обе его части на , то все у соберутся слева, а все х – справа.

б) Запишем уравнение в дифференциальной форме, умножив на dx:

. Поскольку функция в правой части уравнения не раскладывается в произведение, это уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными. Но его нормальная форма (которая и дана в задании) соответствует уравнению, приводящемуся к уравнению с разделяющимися переменными при помощи подстановки z=y-x (см замечание на с.8)

в) Запишем уравнение в дифференциальной форме, умножив на dx:

  и соберем все слагаемые с dx в правой части, приведя подобные слагаемые:. Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными (следует разделить обе части уравнения на )

г) Предложенное уравнение записано в дифференциальной форме. Поскольку функции, входящие в него, не раскладывается на множители, это не уравнение с разделяющимися переменными. Но они являются однородными (т.к. все слагаемые в них одной степени), поэтому данное уравнение – однородное (и приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой )

д) Предложенное уравнение записано в дифференциальной форме и, очевидно, не является уравнением с разделяющимися переменными. Это также не однородное уравнение, так как в него входят слагаемые как степени 1, так и степени 0. Запишем это уравнение в нормальной форме, выразив . Согласно замечанию на с.10, это уравнение приводится к однородному.

Вопросы и задачи:

п1. Дано дифференциальное уравнение:. Являются ли решениями этого уравнения функции:

  а) ; б) ; в) ?

 Можно ли утверждать, что приведено общее решение данного уравнения?

п2. Из приведенных уравнений выберите ОДУ 1-го порядка. Запишите их в дифференциальной форме и в виде уравнения, разрешенного относительно производной:

 а); б); в);

 г); д); е);

 ж); з); и)

п3. Укажите среди уравнений из п2 уравнения с разделяющимися переменными; приводящиеся к ним; однородные уравнения; приводящиеся к однородным (если есть)

Задачи к практическому занятию

1.;  2.; 3.;

4.;  5.;

 6.;  7.;

8.;  9.; 10.

11.; 12.;

13.; 14.

Линейные уравнения и уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Для данных неоднородных линейных уравнений выписать соответствующие однородные линейные уравнения и составить характеристические уравнения:

 Для каждого из данных неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами выпишите правую часть и определите, является ли она функцией специального вида. Если да, выпишите значения параметров a,b, k:


Тройной интеграл в декартовых координатах