Соленоидальное векторное поле
Векторное поле
называется соленоидальным, если существует такое векторное
поле 
, для которого поле является полем его роторов: 
.
Поле называется векторным потенциалом векторного поля .
Практически
соленоидальность векторного поля определяется при помощи его дивергенции: если
во всех точках односвязной области V дивергенция векторного поля равна
нулю, то это векторное поле является соленоидальным.
Решение примерного варианта контрольной работы №1
Задача 1. Дана функция z = cos2(2x – y). Требуется:
1) найти частные производные 
и 
;
2) найти полный дифференциал dz;
3) показать,
что для данной функции справедливо равенство: 
.
Решение.
1) При
нахождении считаем аргумент y постоянным:
=
(cos2(2x – y))
= 2cos(2x – y)(cos(2x
– y)) =
= 2cos(2x – y)(–sin(2x
– y))(2x – y) = –2cos(2x – y)sin(2x – y)((2x) – (y)) =
= – 2cos(2x – y)sin(2x – y)(2 – 0) = –sin(2(2x – y))2 = –2sin(4x – 2y).
При нахождении 
считаем аргумент x постоянным:
= (cos2(2x – y))
= 2cos(2x – y)(cos(2x
– y)) =
= 2cos(2x – y)(–sin(2x
– y))(2x – y) = –2cos(2x – y)sin(2x – y)((2x) – (y)) =
= – sin(2(2x – y))(0 – 1) = sin(4x – 2y).
2) По формуле (1) находим полный дифференциал функции:
dz
= 
= –2sin(4x – 2y)dx + sin(4x – 2y)dy.
3) Найдем смешанные частные производные второго порядка.
Для того, чтобы найти 
, дифференцируем по у:
= 
= (–2sin(4x – 2y)) = [считаем x постоянным] =
=
– 2cos(4x – 2y)(4x – 2y) = – 2cos(4x – 2y)(0 – 2) = 4cos(4x – 2y).
Для
того, чтобы найти 
, дифференцируем по x:
= 
= (sin(4x – 2y)) = [считаем y постоянным] =
=
cos(4x – 2y)(4x – 2y) = cos(4x – 2y)(4 – 0) = 4cos(4x – 2y).
Получили:
= 4cos(4x – 2y), 
= 4cos(4x – 2y) 
.
Ответы: 1) = –2sin(4x – 2y); = sin(4x – 2y);
2) dz = –2sin(4x – 2y)dx + sin(4x – 2y)dy;
3) равенство 
выполнено.
Задача. Найти частные производные 
, 
и 
, если переменные x, y, и z связаны равенством 4x2 y ez
– cos(x3 – z) + 2y2 + 3x = 0. Имеем равенство вида F(x, y, z) = 0, задающее
неявно функцию 2-х переменных. Для
вычисления частных производных можно использовать формулы (2) и (3).
Задача 4. Дана функция двух переменных: z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy: x = 0, y = –1,
Задача 5. Поверхность σ задана уравнением z = 
+ xy – 5x3. Составить уравнения касательной
плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0),
принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2. Решение. Уравнения
касательной плоскости и нормали к поверхности σ получим, используя формулы
(5) и (6). Найдем частные производные функции