Решение задач типового расчета по математике


Решение контрольной работы по метематике Вычислить определенные интегралы Двойной интеграл ОДУ первого порядка Изменить порядок интегрирования в интеграле Вычислить криволинейный интеграл

Поверхностный интеграл второго рода

К понятию поверхностного интеграла 2-го рода приводит физическая задача о вычислении потока жидкости через некоторую поверхность S. При этом, в каждой точке поверхности S задаётся векторная функция (x,y,z) скорости жидкости.

Поверхность S называется двусторонней, если нормаль к поверхности при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S, возвращается в первоначальное положение. Сторона поверхности S задаётся выбором направления нормали к поверхности, в этом случае поверхность называется ориентированной. Поверхностный интеграл 2-го рода имеет вид

где - скалярное произведение, в котором - единичный вектор нормали к заданной стороне поверхности S в произвольной точке (S - поверхность интегрирования). Применяется и другое обозначение векторной функции, а именно . Если векторные функции задать своими координатами

(P(x, у, z), Q(x, у, z), R(x, y, z)), (cos α, cos β, cosγ), то поверхностный интеграл 2-го рода можно записать в одной из следующих форм:

Если уравнение поверхности задано в виде z= f(x, у) и поверхность S взаимнооднозначно проектируется на координатную плоскость хОу в область хOу, то интеграл (45) можно вычислить по расчетной формуле

где запись

означает, что после вычисления скалярного произведения переменную z необходимо заменить на f(x, у).

Единичный вектор нормали  вычисляется по формуле:

 Коэффициент при орте  в формуле (47) определяет косинус

В формулах (47) и (48) выбирается знак «плюс», если угол γ между осью Oz и вектором - острый; знак «минус», если этот угол - тупой.

Формулы (46) - (48) реализуют метод вычисления поверхностного интеграла, который называется методом проектирования на одну из координатных плоскостей.

Свойства поверхностных интегралов 2-го рода такие же, как у поверхностных интефалов 1-го рода, за исключением одного - при изменении стороны поверхности интеграл (45) меняет знак.

Пример 4.

 Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода по внешней боковой стороне цилиндра , лежащей в первом октанте и ограниченной плоскостями  х = 0,5, х = 1, у =0,5, причём 0,5 < х < 1, у > 0,5.

Векторная функция

РЕШЕНИЕ

Заданная поверхность взаимно однозначно проектируется на плоскость хОу, причём область Dху - квадрат 

По условию задачи угол γ - острый, поэтому в формулах (47), (48) выбираем знак «плюс».

Рис.10 - к примеру 4

Уравнение поверхности. Вычисляем формулы (47) и (48) и результат подставляем в (46):

Область интегрирования D задана уравнениями границ. По заданным уравнениям нужно нарисовать кривые или прямые линии, которые образуют замкнутую область D. Затем нужно выбрать порядок интегрирования и применить формулу (8) или (9), как это выполнено в примере 1. Достаточно выполнить интегрирование только по одной из двух формул.

Вычислить с помощью тройного интеграла обьём тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать рисунок данного тела и его проекции на плоскость хОу

Если уравнение поверхности не содержит одну из трёх независимых переменных, это является признаком того, что поверхность - цилиндрическая, с образующей, параллельной оси отсутствующей переменной.

Заданное уравнение при этом -уравнение направляющей линии.

Уравнение сферы радиусом R с центром в начале координат имеет вид: РЕШЕНИЕ  Интеграл по ломанной линии MNV вычисляем суммой двух интегралов: по отрезку прямой MN и отрезку NV. Определим уравнение прямой интегрирования MN, как уравнение прямой, проходящей через две точки

 


Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах