Решение задач типового расчета по математике


Решение контрольной работы по метематике Вычислить определенные интегралы Двойной интеграл ОДУ первого порядка Изменить порядок интегрирования в интеграле Вычислить криволинейный интеграл

Поверхностный интеграл первого рода

Пусть f(x,y,z) - функция, непрерывная на гладкой поверхности S. (Поверхность называется гладкой, если в каждой её точке существует касательная плоскость, непрерывно изменяющаяся вдоль поверхности). Производя относительно поверхности S и функции f(x,y,z) действия, подобные действиям при составлении суммы (1), составим сумму

где  п - число частей, на которые разделена поверхность S; произвольная точка, взятая в i -ой части; ΔSi - площадь i -ой части.

Поверхностный интеграл 1 -го рода обладает такими же свойствами, как и другие, рассмотренные интегралы. Интеграл не зависит от выбора стороны поверхности интегрирования.

Чтобы вычислить поверхностный интеграл первого рода, его нужно преобразовать в двойной интеграл с использованием уравнения поверхности S.

Так, если поверхность S задана уравнением z= F(х,у), то дифференциал площади определяется по формуле

Поверхностный интеграл по S равен двойному интегралу по области Dxy, которая является проекцией поверхности S на координатную плоскость хОу:

С помощью поверхностного интеграла первого рода можно вычислить:

1) площадь поверхности S

2) массу материальной поверхности с распределённой плотностью

3) координаты центра масс, моменты инерции материальной поверхности вычисляются по формулам, аналогичным (6) и (7).

Пример 3.

 Вычислить массу поверхности S с распределённой плотностью

μ = 4- z. Поверхность задана уравнениями

Рис.9- к примеру 3

РЕШЕНИЕ Поверхность S - часть цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Ох (см. рисунок 22), она однозначно проектируется на плоскость хОу в прямоугольную область

Поверхность задана уравнением, которое запишем в виде

и определим дифференциал площади

 


Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах