Лабораторные работы по электротехнике Лабораторные работы по оптоэлектронике Курсовая по сопромату Сборочный чертеж


Курсовая работа по сопромату (сопротивление материалов)

Задача Энгессера об устойчивости сжатого стержня из нелинейно - упругого материала

  В 1889 г. Ф. Энгессер (Германия) предложил расширить область применения формулы Эйлера путём введения вместо упругого модуля Е переменного касательного модуля ЕК :

  (9.58)

 Формула (9.58) носит название формулы Энгессера для касательно- модульной нагрузки. Ошибка Энгессера состояла в том, что он не учёл за пределом упругости различие законов нагрузки и разгрузки, потому получил формулу бифуркационной нагрузки для нелинейно - упругого тела. Свою ошибку он понял в 1895 году после критического замечания Ф. Ясинского. При изгибе стержня под действием продольной силы Р возникает дополнительная деформация продольного волокна АВ на расстоянии  

(рис. 9.24,б), равная: 

 

Так как  то имеем:

 

 132

 Согласно рис. 9.23,в в произвольной точке М диаграммы нелинейно- упругого тела догрузка и разгрузка происходят по одному и тому же закону:

  (9.59) 

Изгибающий момент М, возникающий в результате выпучивания стержня:

 

 а) б) в)

 Рис. 9.23

 Подставляя вместо его выражение (9.59), находим:

  

 С другой стороны, из условия равновесия отсечённой части стержня имеем:

  

 Приравняв моменты, получаем:

   

 Дифференцируя дважды, получаем:

   

  

или

  (9.60)

где  (9.61)

 Уравнение (9.60) в точности совпадает с (9.27) для упругого стержня. Отличие задачи состоит лишь в том, что выражение (9.61) для k2 иное, чем (9.26) в линейно-упругом случае.

  Общее решение уравнения (9.60) имеет вид

  (9.62)

 Дальнейший ход решения конкретных задач ничем не отличается от задачи Эйлера. Из (9.55) находим формулу (9.58) Энгессера:

   

 Для бифуркационного значения напряжения по Энгессеру имеем:

  (9.63)

откуда

  (9.64)

 Задавая значение из (9.64), вычисляем гибкость  и строим диаграмму критических, а точнее бифуркационных значений напряжений

(рис. 9.24).

 а) б)

 Рис. 9.24

Построение эпюр внутренних силовых факторов.

Исходные данные показаны на рисунке 3.2. разобьем стержень на участки АВ, ВС, CD и определим реакции в шарнире А и С.

1)

2) ; ;

Для проверки

 25

Для построения эпюр внутренних силовых факторов возьмем произвольные сечения z1, z2, z3 в пределах выбранных участков.

На участке АВ (0 ≤ z1 ≤ l1 = 0,5 м)(рис. 3.3,а)

На участке ВС (0 ≤ z2 ≤ l2 = 0,2 м)(рис. 3.3,б)

На участке CD (0 ≤ z3 ≤ l3 = 0,6 м)(рис. 3.3,в)

Устойчивость сжатого стержня с шарнирно закреплёнными краями Л.Эйлер рассмотрел задачу с шарнирно опёртыми краями, т.е. с граничными условиями:

Пример. Стальной стержень длиной  двутаврового сечения №18, шарнирно закреплённый на одном и жёстко на другом краях, сжимается силами Р. Требуется определить допускаемое и критическое значения силы Р, если  

Устойчивость сжатого стержня за пределом упругости. Формула Кармана Теория устойчивости сжатого стержня за пределом упругости окончательно была построена Т. Карманом (Германия) в 1910 году. Он учёл, что нагрузка на вогнутой стороне стержня и разгрузка на выпуклой стороне при выпучивании происходят по различным законам 


На главную